METODE NEWTON

NAMA                        : LA SIANDI

STAMBUK               : 17630019

METODE NEWTON

A. Pengertian
metode newton-raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. metode ini dianggap lebih mudah dari metode bagi-dua (bisection method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.
prosedur metode newton :

menentukan x sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x). hal ini berakibat garis l memotong sumbu – x di titik x₁. setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x₁ dianggap sebagai titik awalnya. dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x₂, x₃, … x_n dengan x_n yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

• Metode newton (atau lebih lengkap= metode newton raphson) berusaha menemukan akar persamaan non linier dengan cara menggunakan pendekatan garis singgung pada kurva kontinue y= f(x)

Misalkan suatu kurva y=f(x) memiliki suatu garis singgung pada titik x_i, maka gradien garis singgung pada titik singgung tersebut adalah

Penyusunan kembali persamaan tersebut menjadi

Sehingga dari pers. Tsb bila y = f(x) merupakan fungsi yang bersifat diferensiabel Maka akan dapat ditentukan nilai x prediksi selanjutnya yaitu nilai X_i+1 sampai menemukan akar yang dituju yang ditandai dengan

Pada kondisi ini iterasi sdh dapat dihentikan.

Atau ilustrasi dari gambar di atas, maka gerakan nilai X prediksi akhirnya akan menghampiri akar yang dicari dengan cara membuat garis singgung-garis singgung baru yang mendekati titik akar yang dicari.

Catatan:

• Bila f’(x_i) = 0 maka perhitungan tidak dapat dilakukan dan coba gunakan nilai tebakan yang lain
• Bila f’(x) terlalu dekat dengan nol maka ketelitian hitungan akan rendah (disebut kondisi buruk)
• Jika persamaan f(x)=0 memiliki lebih dari satu akar, maka pemilihan tebakan
• awal yang berbeda akan menemukan akar yang lain.
• Metode newton raphson ini sangat berguna dan banyak dipakai untuk menghitung
• fungsi-fungsi dasar, seperti akar bilangan, perhitungan trigonometri dll.
• Perhitungan dalam mesin/hadware komputer/kalkulator biasanya hanya memiliki
• aritmetika  penjumlahan, pengurangan dan perkalian, sedangkan operasi pembagian
• diimplementasikan dengan menggunakan program, biasanya program newton ini.
• Dalam memilih nilai tebakan awal kita sebelumnya harus dapat mengetahui kira-kira fungsi yang akan diseleasikan nantinya memiliki berapa akar
• Kemudian kira-kira bentuk kurvanya seperti apa.
• Karena bila salah memilih titik tebakan awal, maka akarnya tidak ketemu-ketemu (atau divergen)

algoritma metode newton rapson
definisikan fungsi f(x) dan f¹(x)

• tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
• tentukan nilai pendekatan awal x₀
• hitung f(x₀) dan f^’(x₀)
• untuk iterasi i = 1 s/d n atau |f(x_i)|> e
• hitung f(x_i) dan f¹(x_i)
• akar persamaan adalah nilai x_i yang terakhir diperoleh.

1.  Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil.

Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.

Diketahui fungsi ƒ(x) dan turunannya ƒ '(x), kita memulai dengan tebakan pertama, x 0 . Hampiran yang lebih baik x 1 adalah







Contoh :

Tentukan akar dari persamaan 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Newton Raphson. Penyelesaian :

f(x) = 4x3 – 15x2 + 17x – 6
f’(x) = 12x2 – 30x + 17

iterasi 1 :
ambil titik awal x0 = 3

f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18
f’(3) = 12(3)2 – 30(3) + 17 = 35
x1 = 3 – 18/35 = 2.48571

iterasi 2 :

f(2.48571) = 4(2.48571)3 – 15(2.48571)2 + 17(2.48571) – 6 = 5.01019

f’(2.48571) = 12(2.48571)2 – 30(2.48571) + 17 = 16.57388

x2 = 2.48571 – 5.01019/16.57388  = 2.18342

iterasi 3 :

f(2.18342) = 4(2.18342)3 – 15(2.18342)2 + 17(2.18342) – 6 = 1.24457

f’(2.18342) = 12(2.18342)2 – 30(2.18342) + 17 = 8.70527

x3 = 2.18342 – 1.24457/8.70527 = 2.04045

iterasi 4 :

f(2.04045) = 4(2.04045)3 – 15(2.04045)2 + 17(2.04045) – 6 = 0.21726

f’(2.04045) = 12(2.04045)2 – 30(2.04045) + 17 = 5.74778

x4 = 2.04045 – 0.21726/5.74778  = 2.00265

iterasi 5 :

f(3) = 4(2.00265)3 – 15(2.00265)2 + 17(2.00265) – 6 = 0.01334

f’(2.00265) = 12(2.00265)2 – 30(2.00265) + 17 = 5.04787

x5 = 2.00265 – 0.01334/5.04787 = 2.00001

iterasi 6 :

f(2.00001) = 4(2.00001)3 – 15(2.00001)2 + 17(2.00001) – 6 = 0.00006

f’(2.00001) = 12(2.00001)2 – 30(2.00001) + 17 = 5.00023

x6 = 2.00001 – 0.00006/5.00023 = 2.00000

iterasi 7 :

f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 17(2) – 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

karena pada iteasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 2.


Atau contoh Soal 2 :

Hitung akar f(x)=e^x – 5x^2,
ε = 0.00001
x0 = 0.5

Penyelesaian

Sehingga iterasi Newton Raphson nya sebagai berikut:

Hasil setiap iterasi sebagai berikut:

Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0.605267